Alexandra Merz, Christian Semrau WS 2002/03 (Aus Kapitel 3 eines Skripts ”Einführung in die Zahlentheorie“ von Alexander Schmidt.)

Der Satz von Chevalley-Warning

Seien f_{i} ∈ 𝔽_{p}[X_{1}, …, X_{r}], f_{i} ≠ 0 für i = 1, …, n. Bezeichne (S) das Gleichungssystem

f_{i}(x_{1}, …, x_{r}) = 0, i = 1, …, n.

Die Lösungsmenge L(S) dieses Systems ist eine Teilmenge von (𝔽_{p})^{r}. Trivialerweise ist damit 0 ≤ |L(S)| ≤ p^{r}. Für ein Monom X_{1}^{μ_{1}} ⋯ X_{r}^{μ_{r}} heißt μ = μ_{1} + ⋯ + μ_{r} der Grad des Monoms. Der Grad eines Polynoms f ist das Maximum der Grade der in f auftretenden Monome, geschrieben als deg f. f heißt homogen, wenn alle Monome in f den gleichen Grad haben.

Theorem (Chevalley-Warning). Ist ∑_{i=1}^{n} deg f_{i} < r, so gilt

|L(S)| ≡ 0 mod p.

Zunächst betrachten wir für jedes u ∈ ℕ das Monom X^{u} in einer Variablen vom Grad u. Wir setzen X^{0} = 1.

Lemma. ∑_{x∈𝔽_{p}} x^{u} = \{ \begin{matrix}0 & , u = 0, \\ 0 & , u ≥ 1 und (p − 1) ∤ u, \\ −1 & , u ≥ 1 und (p − 1) | u. \end{matrix}

Beweis. Für u = 0 gilt offensichtlich ∑_{x∈𝔽_{p}} x^{u} = p · 1 = 0. Ist u = (p − 1)v mit v ≥ 1, so ist

∑_{x∈𝔽_{p}} x^{u} = ∑_{x∈𝔽_{p}}(x^{p−1})^{v}.

Auf der rechten Seite sind p − 1 Summanden gleich 1 und einer 0. Also ist die Summe gleich p − 1 = −1. Ist nun u ≥ 1 nicht durch p − 1 teilbar, so gibt es ein x_{0} ∈ 𝔽_{p} mit x_{0}^{u} ≠ 1. Multiplizieren wir ∑_{x∈𝔽_{p}} x^{u} mit x_{0}^{u}, so permutieren sich nur die Summanden und wir erhalten

x_{0}^{u} ( ∑_{x∈𝔽_{p}} x^{u}) = ( ∑_{x∈𝔽_{p}}(x_{0}x)^{u}) = ∑_{x∈𝔽_{p}} x^{u}

und damit (x_{0}^{u} − 1)(∑_{x∈𝔽_{p}} x^{u}) = 0. Wegen x_{0}^{u} ≠ 1 folgt hieraus, dass die Summe gleich 0 ist.

Beweis des Theorems von Chevalley-Warning. Wir setzen P := ∏_{i=1}^{n}(1 − f_{i}^{p−1}) ∈ F_{p}[X_{1}, …, X_{r}]. Ist x = (x_{1}, …, x_{r}) eine simultane Nullstelle, so gilt P (x) = 1. Ist f_{i}(x) ≠ 0 für ein i, so ist f_{i}(x)^{p−1} = 1, also 1 − f_{i}(x)^{p−1} = 0 und folglich auch P (x) = 0. Damit ist P die charakteristische Funktion von L(S). Daher gilt

|L(S)| ≡ ∑_{x∈(𝔽_{p})^{r}} P (x) mod p.

Es bleibt also zu zeigen, dass ∑_{x∈(𝔽_{p})^{r}} P (x) = 0 gilt. Es ist deg(1−f_{i}^{p−1}) ≤ (p−1)(deg f_{i}). P ist ein Polynom mit deg P = ∑_{i=1}^{n} deg(1 − f_{i}^{p−1}) ≤ ∑_{i=1}^{n}(p − 1)(deg f_{i}) < (p − 1)r nach Voraussetzung. Wir können daher P als Linearkombination von Monomen der Form X_{1}^{μ_{1}} ⋯ X_{r}^{μ_{r}} mit μ_{1} + ⋯ + μ_{r} < (p − 1)r schreiben. Es ist in jedem dieser Monome mindestens ein μ_{i} < (p − 1). Nun gilt nach dem allgemeinen Distributivgesetz

∑_{x∈(𝔽_{p})^{r}} x_{1}^{μ_{1}} ⋯ x_{r}^{μ_{r}} = ( ∑_{x_{1}∈𝔽_{p}} x_{1}^{μ_{1}} ) ⋯ ( ∑_{x_{r}∈𝔽_{p}} x_{r}^{μ_{r}} ) .

Nach obigen Lemma ist mindestens einer der Faktoren gleich 0, also auch das Produkt. Daher ist ∑_{x∈(𝔽_{p})^{r}} P (x) gleich der Summe von Nullen und also selbst gleich 0.

Bemerkung. Für jeden endlichen Körper K der Charakteristik p ist die Anzahl der Lösungen eines Gleichungssystem aus Polynomen f_{i} ∈ K[X_{1}, …, X_{r}] durch p teilbar, wenn ∑ deg f_{i} < r.

Korollar. Sei f ∈ 𝔽_{p}[X_{1}, …, X_{r}] homogen mit 0 < deg f < r. Dann hat f eine nichttriviale Nullstelle.

Beweis. Der Punkt (0, …, 0) ∈ (𝔽_{p})^{r} ist Nullstelle von f, weil f kein Absolutglied hat. Da deg f < r, hat f nach dem Theorem mindestens p ≥ 2 Nullstellen, also auch eine nichttriviale.

Korollar. Das Polynom f = aX^{2} + bY^{2} + cZ^{2} ∈ 𝔽_{p}[X, Y, Z] hat eine nichttriviale Nullstelle.