Christian Semrau SS 2003

Kapitel IV. Quadratische Formen über ℚ_{p} und über ℚ

aus: Jean Pierre Serre: A course in arithmetics

Vortrag zum Seminar ”Quadratische Formen über p-adischen Zahlen” an der LMU München

§2. Quadratische Formen über ℚ_{p}

…

2.3. Klassifikation

Theorem 7. Zwei quadratische Formen über ℚ_{p} sind äquivalent gdw. sie den gleichen Rang, die gleiche Diskriminante und die gleiche Invariante ε haben.

Beweis. Dass zwei äquivalente quadr. Formen die gleichen Invarianten haben, ist klar nach ihren Definitionen. Die Umkehrung beweisen wir mit Induktion nach dem (nach Vor.) gemeinsamen Rang n der quadr. Formen f und g. Der Fall n = 0 ist trivial (f = 0 = g ist die einzige quadr. Form). Ist n ≥ 1, dann folgt aus Th. 6, Kor., dass f und g dieselben Elemente von k^{∗}/k^{∗}^{2} repräsentieren, es gibt also ein a ∈ k^{∗} das von f und von g repräsentiert wird. Deshalb haben wir (nach 1.6, 3’, Kor. 1)

f ∼ aZ^{2} ∔ f′ und g ∼ aZ^{2} ∔ g′

mit quadr. Formen f′, g′ vom Rang n − 1. Es ist d(f′) = d(f)/a = d(g)/a = d(g′) und ε(f′) = ε(f)/(a, d(f′)) = ε(g)/(a, d(g′)) = ε(g′). Also haben f′, g′ die gleichen Invarianten und nach Induktionsvoraussetzung ist f′ ∼ g′, also auch f ∼ g. ♣

Korollar. Bis auf Äquivalenz existiert genau eine quadr. Form vom Rang 4 die nicht die 0 repräsentiert. Seien a, b ∈ ℚ_{p} mit (a, b) = −1, dann ist das die Form z^{2} − ax^{2} − by^{2} + abt^{2}.

Beweis. Nach Theorem 6 wird eine solche Form durch die Invarianten d = 1, ε = −(−1, −1) charakterisiert. Nachrechnen zeigt, dass f = z^{2} − ax^{2} − by^{2} + abt^{2} diese Invarianten hat (ε(f) = (−a, −b)(ab, ab) = (−1, −1)(a, b) = −(−1, −1)). ♣

Bemerkung. Diese quadr. Form ist die reduzierte Norm des (bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten) Schiefkörpers vom Grad 4 über ℚ_{p}, dem ”Quaternionenkörper über ℚ_{p}” mit der Basis B = {1, i, j, k}, wobei i^{2} = a, j^{2} = b, ij = k = −ji, (a, b) = −1. (Ist α = z + xi + yj + tk ein Quaternion über ℚ_{p}, dann ist N(α) := det(M_{B}(ℓ_{α})) = (z^{2} − ax^{2} − by^{2} + abt^{2})^{2}.)

Satz 6. Sei n > 1, d ∈ ℚ_{p}^{∗}/ℚ_{p}^{∗}^{2}, ε = ±1. Es existiert eine quadr. Form f vom Rang n mit d(f) = d, ε(f) = ε genau dann, wenn n = 1, ε = 1 oder n = 2, d ≠ −1 oder n = 2, ε = 1 oder n ≥ 3.

Beweis. Der Fall n = 1 ist trivial (ε(f) = 1 und d(f) = d für f ∼ dX^{2}). Ist n = 2, dann ist f ∼ aX^{2} + bY^{2}, und es gilt d(f) = −1 ⇒ ε(f) = (a, b) = (a, −ab) = 1, also kann nicht gleichzeitig d(f) = −1 und ε(f) = −1 sein (das zeigt ”⇒”). Falls umgekehrt d = −1, ε = 1, hat f = X^{2} −Y^{2} diese Invarianten, ist aber d ≠ −1, dann existiert ein a ∈ ℚ_{p}^{∗} mit (a, −d) = ε und f = aX^{2} + adY^{2} leistet das Gewünschte. Ist n = 3, dann sei −d ≠ a ∈ ℚ_{p}^{∗}/ℚ_{p}^{∗}^{2}. Wie eben gezeigt wurde, existiert eine quadr. Form g vom Rang 2 mit d(g) = ad, ε(g) = ε(a, −d). Dann hat f = aZ^{2} ∔ g die Invarianten d und ε. Ist schliesslich n ≥ 4, dann gibt es ein g vom Rang 3 mit den vorgegebenen Invarianten und f = g(X_{1}, X_{2}, X_{3}) + X_{4}^{2} + ⋯ + X_{n}^{2} hat dieselben Invarianten. ♣

Korollar. Die Anzahl der Äquivalenzklassen quadr. Formen vom Rang n über ℚ_{p} ist

für n falls p ≠ 2 falls p = 2
= 1  4  8
= 2  7  15
≥ 3  8  16

Beweis. d(f) kann 4 Werte annehmen für p ≠ 2 und 8 Werte für p = 2, ε(f) kann 2 Werte annehmen. Mit den Einschränkungen aus Satz 6 ergeben sich die Anzahlen. ♣

2.4. Der reelle Fall

Sei f eine quadr. Form vom Rang n über ℝ. f ist äquivalent zu

X_{1}^{2} + ⋯ + X_{r}^{2} − Y_{1}^{2} − ⋯ − Y_{s}^{2}

mit r, s ∈ ℕ_{0} und r + s = n. Das Paar (r, s) hängt nur von f ab, es heißt die Signatur von f. f heißt definit, falls r = 0 oder s = 0, sonst indefinit (genau in diesem Fall repräsentiert f die 0). Die Invarianten ε(f) und d(f) sind definiert wie im Fall ℚ_{p}, und wegen (−1, −1) = −1 ergeben sich die Formeln

ε(f) = (−1)^{s(s−1)/2} = \begin{cases}1 & falls s ≡ 0, 1 (mod 4) \\ −1 & falls s ≡ 2, 3 (mod 4) \end{cases}

d(f) = (−1)^{s} = \begin{cases}1 & falls s ≡ 0 (mod 2) \\ −1 & falls s ≡ 1 (mod 2) \end{cases}

Die Werte von d(f) und ε(f) bestimmen also den Wert von s mod 4, insbesondere ist f im Fall n ≤ 3 bis auf Äquivalenz eindeutig durch d(f) und ε(f) bestimmt. Man sieht leicht, dass die Teile i), ii), iii) von Theorem 6 und seinem Korollar auch für ℝ gelten (denn in den Beweisen wurde nur die Regularität des Hilbert-Symbols benutzt), und dass Teil iv) nicht für ℝ zutrifft.

§3. Quadratische Formen über ℚ

Alle quadratischen Formen f die wir in diesem Abschnitt betrachten, sollen Koeffizienten in ℚ haben und nichtdegeneriert sein.

3.1. Invarianten einer quadr. Form

Wie in Kapitel III, Abschnitt 2 bezeichnen wir mit V die Menge der Primzahlen zusammen mit dem Symbol ∞ und setzen ℚ_{∞} = ℝ. Sei f ∼ a_{1}X_{1}^{2} + ⋯ + a_{n}X_{n}^{2} nichtdegeneriert. Wir ordnen dieser quadr. Form folgende Invarianten zu:

a) Die Diskriminante d(f) = a_{1} ⋯ a_{n} ∈ ℚ^{∗}/ℚ^{∗}^{2}

b) Sei v ∈ V. Dann sei f_{v} die quadr. Form über ℚ_{v} mit denselben Koeffizienten wie f (wobei man die Injektion ℚ → ℚ_{v} benutzt). Die Invarianten von f_{v} bezeichnen wir mit d_{v}(f) und ε_{v}(f). Es ist klar, dass d_{v}(f) das Bild von d(f) ist unter der kanonischen Abbildung ℚ/ℚ^{∗}^{2} → ℚ_{v}/ℚ_{v}^{∗}^{2}. Es ist ε_{v}(f) = ∏_{i<j}(a_{i}, a_{j})_{v} und die Produktformel aus (III, 2.1, Theorem 3) liefert ∏_{v∈V} ε_{v}(f) = 1.

c) Die Signatur (r, s) der reellen quadr. Form f.

Die Invarianten d_{v}(f), ε_{v}(f), (r, s) heißen lokale Invarianten von f.

3.2. Repräsentation einer Zahl durch eine quadr. Form

Theorem 8 (Hasse-Minkowski). f repr 0 ⇔ ∀ v ∈ V : f_{v} repr 0. (D.h. f hat eine ”globale” Nullstelle gdw. f ”überall lokal” eine Nullstelle hat.)

Beweis. ”⇒”: Klar. ”⇐”: Schreibe f = a_{1}X_{1}^{2} + ⋯ + a_{n}X_{n}^{2}, a_{i} ∈ ℚ^{∗}. Indem man a_{1}f statt f betrachtet, kann man zusätzlich a_{1} = 1 annehmen. Wir unterscheiden mehrere Fälle.

i) n = 2. Es ist f = X_{1}^{2} − aX_{2}^{2} und weil f_{∞} repr 0 ist a > 0. Zerlege a in der Form a = ∏_{p} p^{v_{p}(a)}. Da f_{p} die 0 repräsentiert, ist a ∈ ℚ_{p}^{∗}^{2}, also ist v_{p}(a) gerade. Weil das für alle p gilt, ist a ein Quadrat in ℚ und f repr 0.

ii) n = 3 (Legendre). Es ist f = X_{1}^{2} − aX_{2}^{2} − bX_{3}^{2}. Indem wir a und b mit Quadraten multiplizieren, können wir annehmen, dass a und b quadratfreie ganze Zahlen sind, und oBdA sei |a| ≤ |b|. Wir verwenden Induktion nach m = |a| + |b| ∈ ℕ. Ist m = 2, dann ist f = X_{1}^{2} ± X_{2}^{2} ± X_{3}^{2}. Der Fall f = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + X_{3}^{2} entfällt, weil f_{∞} repr 0, in allen anderen Fällen repräsentiert f die 0. Ist m > 2, dann ist |b| ≥ 2 und wir schreiben b = ±p_{1} ⋯ p_{k} mit pw. versch. Primzahlen p_{i}. Sei p eine dieser p_{i}, wir werden zeigen, dass a ein Quadrat modulo p ist. Das ist klar, wenn a ≡ 0 (mod p). Andernfalls ist a eine p-adische Einheit. Nach Voraussetzung existiert ein Tupel (x, y, z) ∈ (ℚ_{p})^{3} \ {0} mit z^{2} − ax^{2} − by^{2} = 0 und wir können annehmen, dass es primitiv ist (II, 2.1, Satz 6). Wir haben dann z^{2} − ax^{2} ≡ 0 (mod p) (weil p | b).

Falls nun x ≡ 0 (mod p), dann wäre auch z ≡ 0 (mod p), und dann wäre by^{2} ≡ 0 (mod p^{2}). Weil aber v_{p}(b) = 1, heißt dass y ≡ 0 (mod p), im Widerspruch zur Primitivität der Lösung. Es ist also x ≢ 0 (mod p), und deshalb ist a ein Quadrat modulo p. Nach dem Chin. Restsatz ist dann a auch ein Quadrat modulo b. Es existieren also ganze Zahlen t, b′ mit |t| ≤ |b| /2 und t^{2} = a+bb′. Die Gleichung bb′ = t^{2}−a zeigt, dass bb′ eine Norm der Erweiterung k(\sqrt{a})/k ist für k = ℚ und alle ℚ_{v} (egal ob \sqrt{a} ∈ ℚ_{v} [dann bb′ = N(t^{2} − a)] oder nicht [dann bb′ = N(t + \sqrt{a})]). Analog zum Beweis von III, 1.1, Satz 2 iii) folgt b ∈ Nk(\sqrt{a})^{∗} ⇔ b^{2}b′ ∈ Nk(\sqrt{a})^{∗} und analog zu III, 1.1, Satz 1 folgt daraus, dass mit

f′ = X_{1}^{2} − aX_{2}^{2} − b′X_{3}^{2}

gilt

f repr 0 in k ⟺ f′ repr 0 in k für k = ℚ, ℚ_{v}, v ∈ V

Insbesondere repräsentiert f′ nach Vorauss. die 0 in allen ℚ_{v}. Es ist |b′| = |(t^{2} − a)/b| ≤ |t^{2}/b| + |a/b| ≤ |b| /4 + 1 < |b| (wegen |b| ≥ 2). Zerlege b′ = b′′u^{2} mit b′′, u ∈ ℤ \ {0} und b′′ quadratfrei. |b′′| ≤ |b′| < |b| ist klar. Wir können nun die Induktionsvoraussetzung auf die zu f′ äquivalente quadr. Form

f′′ = X_{1}^{2} − aX_{2}^{2} − b′′X_{3}^{2}

anwenden. Weil diese nun die 0 in ℚ repräsentiert, trifft das auch auf f′ und damit auch auf f zu.

iii) n = 4. Es ist f = aX_{1}^{2} + bX_{2}^{2} − (cX_{3}^{2} + dX_{4}^{2}). Sei v ∈ V. Weil f_{v} repr 0 existiert nach 1.6, Satz 3’, Kor. 2 (a⇒b) ein x_{v} ∈ ℚ_{v}^{∗}, das repräsentiert wird von aX_{1}^{2} + bX_{2}^{2} und von cX_{3}^{2} + dX_{4}^{2}. Nach Th.6, Kor. ii) heißt das, dass

(x_{v}, −ab)_{v} = (a, b)_{v} und (x_{v}, −cd)_{v} = (c, d)_{v} für alle v ∈ V.

Wir können nun III, 2.2, Theorem 4 anwenden und erhalten ein x ∈ ℚ^{∗} mit

(x, −ab)_{v} = (a, b)_{v} und (x, −cd)_{v} = (c, d)_{v} für alle v ∈ V

Die quadr. Form aX_{1}^{2} +bX_{2}^{2} −xZ^{2} repräsentiert 0 in jedem ℚ_{v} nach Theorem 6, Kor. ii) und deshalb nach Fall ii): aX_{1}^{2} + bX_{2}^{2} − xZ^{2} repr 0 in ℚ. Analog zeigt man, dass cX_{3}^{2} + dX_{4}^{2} − xZ^{2} repr 0 in ℚ, und mit 1.6, Satz 3’, Kor. 2 (c⇒a) folgt, dass f die 0 repräsentiert.

iv) n ≥ 5. Wir verwenden Induktion nach n. Wir setzen f = h . − g mit h = a_{1}X_{1}^{2} + a_{2}X_{2}^{2} und g = −(a_{3}X_{3}^{2} + ⋯ + a_{n}X_{n}^{2}). Sei S = {2, ∞} ∪ {p ∈ ℙ : v_{p}(a_{i}) ≠ 0 für ein i ≥ 3}. S ist endlich. Sei v ∈ S. Weil f_{v} repr 0 existiert ein a_{v} ∈ ℚ_{v} das repräsentiert wird von h und g. Für jedes v ∈ S gibt es also a_{v}, x_{v,i} ∈ ℚ_{v}, i = 1, … n mit

h(x_{v,1}, x_{v,2}) = a_{v} = g(x_{v,3}, …, x_{v,n}).

Die Menge der Quadrate von ℚ_{v}^{∗} ist offen, die Abbildung ℚ_{v} × ℚ_{v} → ℚ_{v}, (x_{1}, x_{2}) ↦ h(x_{1}, x_{2})/a_{v} ist stetig für jedes v ∈ S, also folgt aus dem Näherungssatz (III, 2.2, Lemma 2) die Existenz von x_{1}, x_{2} ∈ ℚ, a := h(x_{1}, x_{2}) so dass a/a_{v} ∈ ℚ_{v}^{∗}^{2} für alle v ∈ S.

Sei f_{1} = aZ^{2} . − g. Ist v ∈ S, dann repräsentiert g a_{v}, also auch a (weil a/a_{v} ein Quadrat ist), also repräsentiert f_{1} die 0 in ℚ_{v}. Ist v ∉ S, (also v ∈ ℙ \ S) dann sind die Koeffizienten −a_{3}, …, −a_{n} von g v-adische Einheiten, ebenso wie −d_{v}(g) (nach Def. von S), und weil v ≠ 2 (2 ∈ S) ist ε_{v}(g) = 1 (Berechnungsformel in III, 1.2, Lemma 2). Damit ist (−1, −d_{v}(g)) = 1 = ε_{v}(g), also nach Th. 6, Kor. iii), iv) repräsentiert g a. Für jedes v ∈ V repräsentiert f_{1} die 0 in ℚ_{v}, und da der Rang von f_{1} gleich n − 1 ist, repräsentiert f_{1} nach Induktionsvoraussetzung die 0 auch in ℚ. Also repräsentiert g a in ℚ, und weil h repr a nach Def. von a, repräsentiert f die 0.

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