Christian Semrau SS 2003

Zusatzdokument zu

Kapitel IV. Quadratische Formen über ℚ_{p} und über ℚ

aus: Jean Pierre Serre: A course in arithmetics

Vortrag zum Seminar ”Quadratische Formen über p-adischen Zahlen” an der LMU München

In den Abschnitten IV, 2.3 und IV, 3 benutzte Sätze

Kapitel III

Definition. Seien a, b ∈ k^{∗}. Falls die Gleichung ax^{2}+by^{2} = z^{2} eine Lösung (x, y, z) ≠ (0, 0, 0) in k^{3} hat, setze (a, b) = 1, sonst setze (a, b) = −1. (a, b) heisst das Hilbert-Symbol von a und b bezüglich k.

Satz (III, 1.1, 1). Seien a, b ∈ k^{∗}, k_{b} := k(\sqrt{b}). Dann ist (a, b) = 1 ⇔ a ∈ N(k_{b}^{∗}).

Satz (III, 1.1, 2). Seien a, a′, b, c ∈ k^{∗}, a ≠ 1 in Formel ii)2) und iv)2).

i) (a, b) = (b, a), (a, c^{2}) = 1 ii) (a, −a) = 1, (a, 1 − a) = 1 iii) (a, b) = 1 ⇒ (a′, b) = (aa′, b) iv) (a, b) = (a, −ab), (a, b) = (a, (1 − a)b)

Lemma (III, 1.2, 2). Seien p > 2, u, v ∈ ℤ_{p}^{∗}. Dann ist (u, v) = 1.

Definition. Sei ℙ die Menge der Primzahlen, V := ℙ ∪ {∞}, und ℚ_{∞} := ℝ.

Lemma (Näherungssatz, III, 2.2, 2). Sei S ⊊ V endlich. Dann ist das Bild von ℚ dicht in ∏_{v∈S} ℚ_{v}.

Bemerkung. Sei (x_{v})_{v∈S} ∈ ∏_{v∈S} ℚ_{v}, dann existiert zu jedem ε > 0 ein x ∈ ℚ mit d(x, x_{v}) ≤ ε für alle v ∈ S.

Theorem (III, 2.1, 3). Seien a, b ∈ ℚ^{∗}. Dann ist (a, b)_{v} = 1 für fast alle v ∈ V (alle bis auf endlich viele) und es ist ∏_{v∈V} (a, b)_{v} = 1.

Theorem (III, 2.2, 4). Sei I eine endliche Menge, (a_{i})_{i∈I} mit a_{i} ∈ ℚ^{∗}, und sei (ε_{i,v})_{i∈I,v∈V} mit ε_{i,v} ∈ {±1}. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(a) Es gibt ein x ∈ ℚ^{∗}, so dass ∀i ∈ I, v ∈ V : (a_{i}, x)_{v} = ε_{i,v}.

(b) Die folgenden drei Bedingungen sind erfüllt:

(1) Fast alle ε_{i,v} sind gleich 1.

(2) Für alle i ∈ I ist ∏_{v∈V} ε_{i,v} = 1.

(3) ∀v ∈ V : ∃x_{v} ∈ ℚ_{v}^{∗}: ∀i ∈ I: (a_{i}, x_{v})_{v} = ε_{i,v}.

Kapitel IV

Satz (IV, 1.6, 3’). Wenn f die 0 repräsentiert und nichtdegeneriert ist, dann ist f ∼ f_{2} ∔g mit f_{s} hyperbolisch. Ausserdem repräsentiert f alle Elemente von k. Korollar (IV, 1.6, 3’, 2). Seien g, h nichtdegenerierte quadr. Formen vom Rang ≥ 1 und sei f = g ˙−h. Dann ist äquivalent:

(a) f repr 0

(b) Es gibt ein a ∈ k^{∗} das von g und h repräsentiert wird

(c) Es gibt ein a ∈ k^{∗} so dass g ˙−aZ^{2} und h ˙−aZ^{2} die 0 repräsentieren Definition und Satz. Ist f ∼ a_{1}X_{1}^{2} + ⋯ + a_{n}X_{n}^{2} eine quadr. Form über dem Körper k, dann sei d(f) := a_{1} ⋯ a_{n} ∈ k^{∗}/k^{∗}^{2}, und ε(f) := ∏_{i<j}(a_{i}, a_{j}) ∈ {±1}. Ist f nichtdegeneriert, dann sind alle a_{i} in k^{∗} und n ist der Rang von f. Äquivalente quadr. Formen über ℚ_{p} haben dieselben Werte n, d, ε, die deshalb Invarianten heißen. Für f ∼ aZ^{2} ∔ g gilt ε(f) = ε(g)(a, d(g)) und d(f) = ad(g). Theorem (IV, 2.2, 6). Eine quadr. Form f vom Rang n über ℚ_{p} mit den Invarianten d = d(f), ε = ε(f) repräsentiert 0 genau dann wenn:

i) n = 2, d = −1 ii) n = 3, (−1, −d) = ε iii) n = 4 und d ≠ −1 oder d = 1, ε = (−1, −1) iv) n ≥ 5

Korollar. Eine quadr. Form f vom Rang n über ℚ_{p} mit den Invarianten d = d(f), ε = ε(f) repräsentiert a ∈ ℚ_{p}^{∗}/ℚ_{p}^{∗}^{2} genau dann wenn:

i) n = 1, d = a ii) n = 2, (a, −d) = ε iii) n = 3 und −d ≠ a oder −d = a, ε = (−1, −d) iv) n ≥ 4