Alexandra Merz, Christian Semrau WS 2002/03

Kapitel III. Das Hilbert-Symbol

aus: Jean Pierre Serre: A course in arithmetics

Vortrag zum Seminar ”Quadratische Formen über p-adischen Zahlen” an der LMU München

1 Lokale Eigenschaften

k bezeichne in diesem Abschnitt ℝ oder ein ℚ_{p} (p prim).

1.1 Definition und erste Eigenschaften

Definition. Seien a, b ∈ k^{∗}. Falls die Gleichung

ax^{2} + by^{2} = z^{2} (H)

eine Lösung (x, y, z) ≠ (0, 0, 0) in k^{3} hat, setze (a, b) = 1, sonst setze (a, b) = −1. (a, b) heisst das Hilbert-Symbol von a und b bezüglich k.

Bemerkung. Sind c, d ∈ k^{∗}, dann ist (ac^{2}, bd^{2}) = (a, b), denn hat ac^{2}x^{2} + bd^{2}y^{2} = z^{2} eine Lösung (x, y, z), dann ist (cx, dy, z) eine Lösung von ax^{2} + by^{2} = z^{2}, hat ax^{2} + by^{2} = z^{2} eine Lösung (x, y, z), dann ist (x/c, y/d, z) eine Lösung von ac^{2}x^{2} + bd^{2}y^{2} = z^{2}. Bezeichnet k^{∗}^{2} = {a^{2} : a ∈ k^{∗}} die multiplikative Gruppe der Quadrate in k^{∗}, dann definiert also das Hilbertsymbol eine Abbildung k^{∗}/k^{∗}^{2} ×k^{∗}/k^{∗}^{2} → {±1}. (Sprich k^{∗}/k^{∗}^{2} als ”k Stern modulo Quadrate”).

Erinnerung. Folgende Aussagen aus der Algebra werden als bekannt vorausgesetzt: Sei K ein Körper und b ∈ K. Sei L := K(\sqrt{b}) und N: L → K die Norm von L über K. Falls b ein Quadrat in K ist, dann ist L = K, N(x) = x und N(L^{∗}) = K^{∗}. Falls b kein Quadrat in K ist, dann ist L eine quadratische Erweiterung von K. Sei β ∈ L mit β^{2} = b. Es ist L = {x + βy : x, y ∈ K} und N(x + βy) = (x + βy)(x − βy) = x^{2} − by^{2}. N(L^{∗}) ist eine Untergruppe von K^{∗}.

Satz 1. Seien a, b ∈ k^{∗}, k_{b} := k(\sqrt{b}). Dann ist (a, b) = 1 ⇔ a ∈ N(k_{b}^{∗}).

Beweis. 1. Fall: b ist ein Quadrat in k. b = c^{2}, c ∈ k^{∗}. Dann ist k_{b} = k, N(k_{b}^{∗}) = k^{∗} ∋ a und (H) hat die Lösung (0, 1, c). Damit sind beide Seiten der Behauptung erfüllt.

2. Fall: b ist kein Quadrat in k. Sei β ∈ k_{b} mit β^{2} = b. Es ist N(z + βy) = z^{2} − by^{2}.

”⇐”: Ist a ∈ N(k_{b}^{∗}), dann ∃y, z ∈ k : a = z^{2} − by^{2} und es ist a · 1^{2} + by^{2} = z^{2}, also (a, b) = 1.

”⇒”: Ist (a, b) = 1, dann ∃(0, 0, 0) ≠ (x, y, z) ∈ k^{3} : ax^{2} + by^{2} = z^{2}. Wäre x = 0, dann wäre by^{2} = z^{2}, und weil y ≠ 0 (sonst wäre auch z = 0) wäre b = (z/y)^{2} ∈ k^{∗}^{2}, aber b ist kein Quadrat. Also ist x ≠ 0 und mit ξ = (z/x) + β(y/x) ist N(ξ) = z^{2}/x^{2} − by^{2}/x^{2} = a.

Satz 2. Seien a, a′, b, c ∈ k^{∗}, a ≠ 1 in Formel ii)2) und iv)2).

i) (a, b) = (b, a), (a, c^{2}) = 1 ii) (a, −a) = 1, (a, 1 − a) = 1 iii) (a, b) = 1 ⇒ (a′, b) = (aa′, b) iv) (a, b) = (a, −ab), (a, b) = (a, (1 − a)b)

Beweis. i) 1) klar nach Def., 2) (0, 1, c) ist Lsg. von (H) ii) 1) (1, 1, 0), 2) (1, 1, 1) sind Lsg. von (H) iii) (a, b) = 1 ⇒ a ∈ N(k_{b}^{∗}). Weil N(k_{b}^{∗}) ⊆ k^{∗} eine Untergruppe ist, ist a′ ∈ N(k_{b}^{∗}) ⇔ aa′ ∈ N(k_{b}^{∗}). Die Behauptung folgt mit Satz 1. iv) 1) (−a, a) = 1 ⇒ (b, a) = (−ab, a), 2) ((1 − a), a) = 1 ⇒ (b, a) = ((1 − a)b, a)

Bemerkung. Formel iii) ist ein Spezialfall von

v) (aa′, b) = (a, b)(a′, b).

Diese Formel (zusammen mit der Symmetrie) bedeutet die Bilinearität des Hilbert-Symbols und wird gleich bewiesen.

1.2 Berechnung des Hilbert-Symbols (a, b)

Wir geben zunächst eine Berechnungsvorschrift für das Hilbert-Symbol in ℝ an (Satz 3), dann für ℚ_{p}, p > 2 (Lemma 2 bis 4, Satz 4) und schließlich für ℚ_{2} (Lemma 5 bis 7, Satz 5), alle Berechnungsvorschriften vereint sollen dann Theorem 1 bilden.

Satz 3. Seien a, b ∈ ℝ^{∗}, dann ist (a, b) = \{ \begin{matrix}1 & falls a > 0 oder b > 0 \\ −1 & falls a < 0 und b < 0 \end{matrix} .

Beweis. Es ist ℝ^{∗}^{2} = {x ∈ ℝ : x > 0}. Falls a > 0 oder b > 0, dann ist (a, b) = 1 nach Satz 2.i). Falls a < 0 und b < 0, dann ist (a, b) = (−1, −1) = −1, denn −x^{2} − y^{2} = z^{2} hat (in ℝ) nur die triviale Lösung.

Theorem (Chevalley-Warning). Seien 0 ≠ f_{1}, …, f_{n} ∈ 𝔽_{p}[X_{1}, … X_{r}] Polynome mit ∑_{i=1}^{n} deg f_{i} < r. Sei L := {x ∈ (𝔽_{p})^{r} : ∀i: f_{i}(x) = 0}. Dann ist |L| ≡ 0 (mod p). Daraus folgt, dass f = aX^{2} + bY^{2} + cZ^{2} ∈ 𝔽_{p}[X, Y, Z] eine nichttriviale Nullstelle hat.

Lemma 1. Sei v ∈ ℤ_{p}^{∗}. Wenn (p, v) = 1, dann hat px^{2} + vy^{2} = z^{2} auch eine Lösung (x, y, z) bei der x ∈ ℤ_{p} und y, z ∈ ℤ_{p}^{∗}.

Beweis. Wenn (p, v) = 1, dann hat nach Satz 6 (a⇒b) aus Kapitel II, 2.1 die Gleichung px^{2}+ vy^{2} = z^{2} eine primitive Lösung (x, y, z) ∈ (ℤ_{p})^{3}. Wir zeigen, dass (x, y, z) die gewünschte Eigenschaft hat. Wenn nicht y, z ∈ ℤ_{p}^{∗} wären, dann wäre y ≡ 0 (mod p) oder z ≡ 0 (mod p). Wegen vy^{2} ≡ z^{2} (mod p) und v ≢ 0 (mod p) wäre dann y ≡ 0 ≡ z (mod p), also px^{2} ≡ 0 (mod p^{2}). Damit wäre x^{2} ≡ 0 (mod p) und also x ≡ 0 (mod p), im Widerspruch zur Primitivität der Lösung.

Lemma 2. Seien p > 2, u, v ∈ ℤ_{p}^{∗}. Dann ist (u, v) = 1.

Beweis. Die Gleichung ux^{2} + vy^{2} − z^{2} = 0 hat nach dem Korollar zum Theorem von Chevalley-Warning eine nichttriviale Lösung modulo p. Weil die Diskriminante dieser quadratischen Form eine p-adische Einheit (−uv) ist, folgt aus (Kor.2 zu Th.1 in II,2.2), dass es eine p-adische Lösung gibt, also ist (u, v) = 1.

Definition. Ist p > 2, u ∈ ℤ_{p}^{∗}, dann sei (\frac{u}{p}) := (\frac{u mod p}{p}) ∈ \{−1, 1\}.

Lemma 3. Seien p > 2, u, v ∈ ℤ_{p}^{∗}. Dann ist (pu, v) = (\frac{v}{p}).

Beweis. Wegen (u, v) = 1 (nach Lemma 2) gilt nach Satz 2.iii) (pu, v) = (p, v). Falls v ein Quadrat ist, dann ist (p, v) = 1 = (\frac{v}{p}) nach Satz 2.i).

Falls v kein Quadrat ist, dann ist (\frac{v}{p}) = −1. Wäre nun (p, v) = 1, dann gäbe es nach Lemma 1 eine primitive Lösung, bei der y und z Einheiten sind. Es wäre dann v ≡ (z/y)^{2} (mod p), aber v ist hier kein Quadrat. Also muss (p, v) = −1 sein.

Lemma 4. Seien p > 2, u, v ∈ ℤ_{p}^{∗}. Dann ist (pu, pv) = (−1)^{(p−1)/2}(\frac{u}{p})(\frac{v}{p}).

Beweis. Nach Satz 2.iv) ist (pu, pv) = (pu, −pupv) = (pu, −uv). Aus Lemma 3 folgt (pu, −uv) = (\frac{−uv}{p}) (setze die Einheit −uv für v).

Wegen (\frac{−1}{p}) = (−1)^{(p−1)/2} zerfällt (\frac{−uv}{p}) in die rechte Seite und wir sind fertig.

Satz 4. Sei p > 2, a, b ∈ ℚ_{p}^{∗}, a = p^{α}u, b = p^{β}v, wobei α, β ∈ ℤ, u, v ∈ ℤ_{p}^{∗}, dann gilt

(a, b) = (−1)^{αβε(p)}(\frac{u}{p})^{β}(\frac{v}{p})^{α}

Dabei ist ε(p) = \frac{p−1}{2} mod 2 ∈ ℤ/2ℤ.

Beweis. Auf beiden Seiten der Gleichung ist nur wichtig, ob α und β gerade oder ungerade sind. Man kann also zu ihren Resten modulo 2 übergehen. Durch die Symmetrie des Hilbert-Symbols und der rechten Seite sind nur noch drei Fälle zu unterscheiden.

Fall 1: α = 0, β = 0 Das ist Lemma 2. Fall 2: α = 1, β = 0 Das ist Lemma 3. Fall 3: α = 1, β = 1 Das ist Lemma 4.

Lemma 5. Seien u, v ∈ 𝕌 = ℤ_{2}^{∗}, dann ist (u, v) = 1 ⇔ u ≡ 1 (mod 4) ∨ v ≡ 1 (mod 4).

Beweis. ”⇒“: Sei ux^{2} + vy^{2} = z^{2} nichttrivial lösbar. Es gibt dann (nach Satz 6 aus Kapitel II, 2.1) eine primitive Lösung (x, y, z) ∈ (ℤ_{2})^{3}. Nehmen wir nun an, es wäre u ≡ −1 (mod 4) und v ≡ −1 (mod 4). Die primitive Lösung erfüllt dann 0 ≡ z^{2} + x^{2} + y^{2} (mod 4). Weil aber 0, 1 die Quadrate von ℤ/4ℤ sind, kann diese Kongruenz nur erfüllt sein, wenn alle drei Variablen kongruent 0 modulo 2 sind, was der Primitivität widerspricht. Also ist u ≡ 1 mod 4 oder v ≡ 1 mod 4.

”⇐“: Sei u ≡ 1 (mod 4), dann ist u ≡ 1 (mod 8) oder u ≡ 5 (mod 8). Im ersten Fall ist u ein Quadrat (Th.4 in II,3.3), also (u, v) = 1, im zweiten Fall ist u + 4v ≡ 1 (mod 8), also u + 4v ein Quadrat, und es gibt ein w ∈ ℤ_{2} mit w^{2} = u + 4v. Die Gleichung ux^{2} + vy^{2} = z^{2} hat also die Lösung (1, 2, w). Damit ist (u, v) = 1. Analog folgt aus v ≡ 1 (mod 4), dass (u, v) = 1.

Lemma 6. Sei v ∈ ℤ_{2}^{∗}. Dann ist (2, v) = 1 ⇔ v ≡ ±1 (mod 8).

Beweis. ”⇒“: Falls (2, v) = 1, dann ist 2x^{2} +vy^{2} = z^{2} nichttrivial lösbar und nach Lemma 1 existiert eine Lösung x, y, z ∈ ℤ_{2} mit y, z ≢ 0 (mod 2). Für diese Lösung gilt y^{2} ≡ z^{2} ≡ 1 (mod 8), und damit v ≡ 1 − 2x^{2} (mod 8). Weil 0, 1, 4 die Quadrate von ℤ/8ℤ sind, folgt daraus, dass v ≡ ±1 (mod 8).

”⇐“: Falls v ≡ 1 (mod 8), dann ist v ein Quadrat und (2, v) = 1. Falls v ≡ −1 (mod 8), dann hat 2x^{2} + vy^{2} = z^{2} modulo 8 die Lösung (1, 1, 1) und nach (Kor.3 zu Th.1 in II,2.2) liefert diese Näherungslösung eine exakte Lösung. Damit ist (2, v) = 1.

Lemma 7. Seien u, v ∈ ℤ_{2}^{∗}, dann ist (2u, v) = (2, v)(u, v).

Beweis. Wegen Satz 2.iii) ^{1} ist das nur noch im Fall (2, v) = (u, v) = −1 zu beweisen, also falls v ≡ ±3 (mod 8) (nach Lemma 6) und u, v ≡ 3 (mod 4) (nach Lemma 5). Da beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind, gilt u ≡ 3 (mod 8) oder u ≡ 7 (mod 8) und v ≡ 3 (mod 8).

Falls u ≡ 3 (mod 8), v ≡ 3 (mod 8), dann sind u′ := 3/u ≡ 1 (mod 8) und v′ := −5/v ≡ 1 (mod 8) Quadrate in ℚ_{2}^{∗}, damit ist uu′ = 3, vv′ = −5 und (2u, v) = (6, −5). 6x^{2} − 5y^{2} = z^{2} hat die Lösung (1, 1, 1), also ist (2u, v) = 1.

Falls u ≡ 7 (mod 8), v ≡ 3 (mod 8), dann sind u′ := −1/u ≡ 1 (mod 8) und v′ := 3/v ≡ 1 (mod 8) Quadrate in ℚ_{2}^{∗}, damit ist uu′ = −1, vv′ = 3 und (2u, v) = (−2, 3). −2x^{2} +3y^{2} = z^{2} hat die Lösung (1, 1, 1), also ist (2u, v) = 1.

Definition. Für u ∈ ℤ_{2}^{∗} sei ε(u) := \frac{u−1}{2} mod 2, ω(u) := \frac{u^{2}−1}{8} mod 2 ∈ ℤ/ℤ_{2}. ε und ω sind Homomorphismen von ℤ_{2}^{∗} nach ℤ/2ℤ, d.h. ε(xy) = ε(x) + ε(y), ω(xy) = ω(x) + ω(y).

Beweis. Seien x, y ≡ 1 (mod 2), dann ist (x − 1), (y − 1) ≡ 0 (mod 2), also (x − 1)(y − 1) = xy−(x+y)+1 = (xy−1)−(x+y−2) ≡ 0 (mod 4), damit ist ε(xy) = \frac{xy−1}{2} ≡ \frac{x+y−2}{2} = ε(x)+ ε(y) (mod 2). Es ist (x^{2}−1), (y^{2}−1) ≡ 0 (mod 8), also (x^{2}−1)(y^{2}−1) = x^{2}y^{2}−(x^{2}+y^{2})+1 = (x^{2}y^{2} − 1) − (x^{2} + y^{2} − 2) ≡ 0 (mod 16), damit ist ω(xy) = \frac{x^{2}y^{2}−1}{8} ≡ \frac{x^{2}+y^{2}−2}{8} = ω(x) + ω(y) (mod 2).

Satz 5. Seien a, b ∈ ℚ_{2}^{∗}, a = 2^{α}u, b = 2^{β}v, wobei α, β ∈ ℤ, u, v ∈ 𝕌, dann gilt

(a, b) = (−1)^{ε(u)ε(v)+αω(v)+βω(u)}

Beweis. Auch hier kann man zu den Resten von α und β modulo 2 übergehen, und auch hier sind beide Seiten symmetrisch.

Fall 1: α = 0, β = 0 Zu zeigen ist (u, v) = (−1)^{ε(u)ε(v)}. Das ist Lemma 5, denn (−1)^{ε(u)ε(v)} = 1 ⇔ u ≡ 1 (mod 4) ∨ v ≡ 1 (mod 4).

Fall 2: α = 1, β = 0 Zu zeigen ist (2u, v) = (−1)^{ε(u)ε(v)+ω(v)}. Wegen (−1)^{ω(v)} = 1 ⇔ v ≡ ±1 (mod 8) und Lemma 6 wissen wir (2, v) = (−1)^{ω(v)}. Mit Lemma 7 haben wir (2u, v) = (2, v)(u, v) = (−1)^{ω(v)}(−1)^{ε(u)ε(v)}.

Fall 3: α = 1, β = 1 Zu zeigen ist (2u, 2v) = (−1)^{ε(u)ε(v)+ω(v)+ω(u)}.

1(2, v) = 1 ⇒ (u, v) = (2u, v), (u, v) = 1 ⇒ (2, v) = (2u, v)

Nach Satz 2.iv) ist (2u, 2v) = (2u, −4uv) = (2u, −uv). Gerade gezeigt wurde (2u, −uv) = (−1)^{ε(u)ε(−uv)+ω(−uv)} (nimm −uv für v in Fall 2). Es ist ε(xy) = ε(x) + ε(y), ω(xy) = ω(x) + ω(y), ausserdem ist ε(−1) = 1, ε(u)(1 + ε(u)) = 0, ω(−1) = 0. Also ist ε(u)ε(−uv) + ω(−uv) = ε(u)ε(v) + ω(u) + ω(v).

Theorem 1. Wir fassen die Aussagen der Sätze 3, 4 und 5 zusammen zum Theorem 1.

Theorem 2. Das Hilbert-Symbol ist eine reguläre Bilinearform des 𝔽_{2} -Vektorraums k^{∗}/k^{∗}^{2} in den 𝔽_{2} -Vektorraum {±1}.

Die Bilinearform (a, b) nach {±1} heisst regulär (oder nicht ausgeartet), wenn für jedes b ∈ k^{∗} mit ∀a ∈ k^{∗}: (a, b) = 1 gilt, dass b ∈ k^{∗}^{2} ist. Das ist gleichbedeutend damit, dass es zu jedem Nichtquadrat b ∈ k^{∗} \ k^{∗}^{2} ein a ∈ k^{∗} gibt mit (a, b) = −1.

Beweis. k^{∗}/k^{∗}^{2} ist ein 𝔽_{2} -Vektorraum, denn: Man prüft leicht nach, dass jede (additiv geschriebene) abelsche Gruppe G mit der Eigenschaft a + a = 0∀a ∈ G mit der Skalarmultiplikation 0a = 0, 1a = a einen 𝔽_{2} -Vektorraum bildet. k^{∗}/k^{∗}^{2} erfüllt diese Bedingung (mit der Multiplikation der Restklassen als Vektoraddition), denn ∀u ∈ k^{∗} : u^{2} ∈ k^{∗}^{2}, also ist k^{∗}/k^{∗}^{2} ein 𝔽_{2} -Vektorraum (mit der Skalarmultiplikation a^{λ} für a ∈ k^{∗}/k^{∗}^{2}, λ ∈ 𝔽_{2}).

ℝ^{∗}/ℝ^{∗}^{2} hat die Repräsentanten {1, −1} und bildet einen eindimensionalen 𝔽_{2} -Vektorraum mit der einzigen Basis {−1}. Die Bilinearität ist nur noch im Fall (a, b) = (a′, b) = −1 zu zeigen (die anderen Fälle sind in Satz 2.iii) gezeigt): 1 = (1, −1) = (−1, −1)(−1, −1) = −1 · −1. Dass das Hilbert-Symbol für ℝ regulär ist, folgt aus (−1, −1) = −1.

Für p ≥ 2 folgt die Bilinearität des Hilbert-Symbols in ℚ_{p} aus Satz 4 und 5.

Nach (Kor. zu Th.3 in II,3.3) hat ℚ_{p}^{∗}/ℚ_{p}^{∗}^{2} für p > 2 die Repräsentanten 1, p, u, pu mit u ∈ ℤ_{p}^{∗},

(\frac{u}{p}) = −1. ℚ_{p}^{∗}/ℚ_{p}^{∗}^{2} ist ein 2-dimensionaler 𝔽_{2}-Vektorraum, eine Basis ist \{p, u\}. Es folgt aus (u, p) = (u, pu) = −1, dass das Hilbert-Symbol regulär ist.

Nach (Kor. zu Th.4 in II,3.3) hat ℚ_{2}^{∗}/ℚ_{2}^{∗}^{2} die Repräsentanten u, 2u mit u = ±1, ±5. ℚ_{2}^{∗}/ℚ_{2}^{∗}^{2} ist ein 3-dimensionaler 𝔽_{2}-Vektorraum, eine Basis ist {2, −1, 5}. Aus (−1, −1) = (−1, −5) = (2u, 5) = −1 folgt, dass (a, b) regulär ist.

Korollar 1. Wenn b kein Quadrat ist, dann ist N(k_{b}^{∗}) eine Untergruppe mit Index 2.

Beweis. Die Abbildung ϕ_{b}: k^{∗} → {±1}, ϕ_{b}(a) = (a, b) ist ein Homomorphismus (das folgt aus der Bilinearität von (a, b)), hat nach Satz 1 den Kern N(k_{b}^{∗}), und ist surjektiv, da (a, b) regulär ist. Also definiert ϕ_{b} einen Isomorphismus k^{∗}/N(k_{b}^{∗}) → {±1}. Damit ist [k^{∗} : N(k_{b}^{∗})] = 2.

Bemerkung. Wenn wir (a, b) = (−1)^{[a,b]} schreiben mit [a, b] ∈ 𝔽_{2}, dann ist [ · , ·] : k^{∗}/k^{∗}^{2} × k^{∗}/k^{∗}^{2} → 𝔽_{2} eine symmetrische Bilinearform von 𝔽_{2}-Vektorräumen, die wir nach Wahl einer Basis B durch eine Multiplikation mit der darstellenden Matrix beschreiben können: [x, y] = x̂^{t}Aŷ, wobei x̂ der Koordinatenvektor (in (𝔽_{2})^{dim}) des Vektors x (in k^{∗}/k^{∗}^{2}) ist.

• Für k = ℝ ist B = {−1} die einzige Basis von k^{∗}/k^{∗}^{2} und A = (1).

• Für k = ℚ_{p}, p ≠ 2 und die Basis B = \{p, u\} ist A = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) falls p ≡ 1 (mod 4) und

A = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) falls p ≡ 3 (mod 4).

• Für k = ℚ_{2} und die Basis \{2, −1, 5\} ist A = (\begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}).

2 Globale Eigenschaften

ℚ lässt sich als Teilkörper in jedes ℚ_{p} und in ℝ einbetten. Seien a, b ∈ ℚ^{∗}, dann bezeichne (a, b)_{p} ihr Hilbert-Symbol bezüglich ℚ_{p} und (a, b)_{∞} ihr Hilbert-Symbol bezüglich ℝ. Sei ℙ die Menge der Primzahlen, V := ℙ ∪ {∞}, und ℚ_{∞} := ℝ. Dann ist ℚ dicht in ℚ_{v} für alle v ∈ V.

2.1 Produktformel

Theorem 3 (Hilbert). Seien a, b ∈ ℚ^{∗}. Dann ist (a, b)_{v} = 1 für fast alle v ∈ V (alle bis auf endlich viele) und es ist ∏_{v∈V} (a, b)_{v} = 1.

Beweis. Durch Multiplikation mit rationalen Quadraten kann man a, b als ganze Zahlen darstellen, ohne irgendeines der Hilbert-Symbole zu ändern: a = ∏_{i=1}^{n} p_{i}, b = ∏_{j=1}^{m} q_{j} mit p_{i}, q_{j} ∈ ℙ ∪ {−1} (nicht notwendig verschieden). Wegen der Bilinearität des Hilbert-Symbols genügt es, das Theorem für den Fall zu beweisen, dass a und b selbst Primzahlen oder −1 sind. Denn sei M(x, y) := {v ∈ V : (x, y)_{v} = −1}. Dann folgt aus (a, b)_{v} = ∏_{i=1}^{n} ∏_{j=1}^{m}(p_{i}, q_{j})_{v} die Beziehung M(a, b) ⊆ ⋃_{i=1}^{n} ⋃_{j=1}^{m} M(p_{i}, q_{j}) (denn wenn (a, b)_{v} = −1, dann muss mindestens eines der (p_{i}, q_{j})_{v} = −1 sein). Wenn nun alle M(p_{i}, q_{j}) als endlich nachgewiesen sind, dann ist M(a, b) als endliche Vereinigung endlicher Mengen auch endlich. Damit ist ∏_{v∈V} (a, b)_{v} = ∏_{v∈V} ∏_{i=1}^{n} ∏_{j=1}^{m}(p_{i}, q_{j})_{v} = ∏_{i=1}^{n} ∏_{j=1}^{m} ∏_{v∈V} (p_{i}, q_{j})_{v}, (weil nur noch endliche Produkte auftreten,) und wenn ∏_{v∈V} (p_{i}, q_{j})_{v} = 1, dann gilt auch ∏_{v∈V} (a, b)_{v} = 1.

Fall 1: a = −1, b = −1 Es ist (−1, −1)_{∞} = (−1, −1)_{2} = −1 und (−1, −1)_{v} = 1 für v ≠ 2, ∞ (Lemma 2 in Abschnitt 1.2), das Produkt ist gleich 1.

Fall 2: a = −1, b = l, l prim Wenn l = 2, dann ist (−1, 2)_{v} = 1 für alle v ∈ V ((−1, 2)_{2} = 1 nach Lemma 6, (−1, 2)_{∞} = 1 nach Satz 3, restliche v mit Lemma 2). Wenn l ≠ 2, dann ist (−1, l)_{v} = 1 für v ≠ 2, l (Lemma 2 und Satz 3), (−1, l)_{2} = (−1)^{ε(−1)ε(l)} = (−1)^{ε(l)} (Fall 2 in Satz 5), (−1, l)_{l} = (\frac{−1}{l}) = (−1)^{ε(l)} (Lemma 3). Das Produkt ist gleich 1.

Fall 3: a = l, b = l′, l, l′ prim Wenn l = l′, dann folgt aus Satz 2.iv) dass (l, l′)_{v} = (−1, l)_{v} ∀v ∈ V und wir sind im zweiten Fall. Wenn l ≠ l′ und l′ = 2, dann ist (l, 2)_{v} = 1 für v ≠ 2, l (Lemma 2), (l, 2)_{2} = (−1)^{ω(l)} (Fall 2 in Satz 5), (l, 2)_{l} = (\frac{2}{l}) = (−1)^{ω(l)} (Lemma 3). Das Produkt ist gleich 1. Wenn l, l′ verschieden und ungleich 2 sind, dann ist (l, l′)_{v} = 1 für v ≠ 2, l, l′ (Lemma 2) und (l, l′)_{2} = (−1)^{ε(l)ε(l′)} (Fall 1 in Satz 5), (l, l′)_{l} = (\frac{l′}{l} ), (l, l′)_{l′} = (\frac{l}{l′} ) (Lemma 3). Nach dem Reziprozitätsgesetz ist (\frac{l′}{l} )(\frac{l}{l′} ) = (−1)^{ε(l)ε(l′)}, also ist das Produkt gleich 1.

2.2 Existenz rationaler Zahlen mit vorgegebenen Hilbert-Symbolen

Theorem 4. Sei I eine endliche Menge, (a_{i})_{i∈I} mit a_{i} ∈ ℚ^{∗}, und sei (ε_{i,v})_{i∈I,v∈V} mit ε_{i,v} ∈ {±1}. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(a) Es gibt ein x ∈ ℚ^{∗}, so dass ∀i ∈ I, v ∈ V : (a_{i}, x)_{v} = ε_{i,v}.

(b) Die folgenden drei Bedingungen sind erfüllt:

(1) Fast alle ε_{i,v} sind gleich 1.

(2) Für alle i ∈ I ist ∏_{v∈V} ε_{i,v} = 1.

(3) ∀v ∈ V : ∃x_{v} ∈ ℚ_{v}^{∗}: ∀i ∈ I: (a_{i}, x_{v})_{v} = ε_{i,v}.

”(a)⇒(b)”: Die Gültigkeit der Bedingungen (1) und (2) folgt aus Theorem 3, und mit x_{v} := x ist Bedingung (3) erfüllt. Zum Nachweis der anderen Richtung brauchen wir drei Lemmas.

Lemma 1 (Chinesischer Restsatz). Seien a_{1}, …, a_{n} ∈ ℤ und m_{1}, …, m_{n} ∈ ℤ paarweise teilerfremd. Dann gibt es ein a ∈ ℤ mit a ≡ a_{i} (mod m_{i}) für i = 1, …, n.

Lemma 2 (Näherungssatz). Sei S ⊊ V endlich. Dann ist das Bild von ℚ dicht in ∏_{v∈S} ℚ_{v}.

Beweis. Sei (x̃_{v})_{v∈S} ∈ ∏_{v∈S} ℚ_{v}, dann ist zu jedem ε > 0 ein x̃ ∈ ℚ zu finden, so dass d(x̃, x̃_{v}) ≤ ε für alle v ∈ S. Das ist für v = p prim gleichbedeutend mit v_{p}(x̃ − x̃_{p}) ≥ N für ein geeignetes N. Falls ∞ ∉ S, dann fügen wir ∞ zu S hinzu und beweisen mehr als nötig ist. Sei (x̃_{∞}, x̃_{1}, …, x̃_{n}) ∈ ℝ × ℚ_{p_{1}} × … × ℚ_{p_{n}} und seien ε > 0 und Ñ ∈ ℕ beliebig vorgegeben. Es ist nun ein x̃ ∈ ℚ zu finden, so dass |x̃ − x̃_{∞}| ≤ ε und v_{p_{i}}(x̃ − x̃_{i}) ≥ Ñ für alle i. Durch Multiplikation des Tupels mit einer geeigneten natürlichen Zahl ^{2} m ≥ 1 erhalten wir x_{i} := mx̃_{i} ∈ ℤ_{p_{i}} für i = 1, …, n und x_{∞} := mx̃_{∞}. Setze M := max{v_{p_{i}}(m)} und N := Ñ + M ∈ ℕ. (Denn 0 ≤ M ∈ ℤ.) Nach Lemma 1 (mit m_{i} = p_{i}^{N}, a_{i} ≡ x_{i} (mod p_{i}^{N})) existiert ein x_{0} ∈ ℤ, so dass v_{p_{i}}(x_{0} − x_{i}) ≥ N für alle i. Sei nun q ≥ 2 eine zu allen p_{i} teilerfremde Zahl (z.B. eine weitere Primzahl). Die rationalen Zahlen \{\frac{a}{q^{r}} : a ∈ ℤ, r ∈ ℕ\} liegen dicht in ℝ.^{3} Wähle eine Zahl u = \frac{a}{q^{r}} mit

|x_{0} − x_{∞} + u(p_{1} … p_{n})^{N} | ≤ ε. Wir setzen x := x_{0} + u(p_{1} … p_{n})^{N}. Für alle i = 1, …, n gilt q ∈ ℤ_{p_{i}}^{∗}, also ist u ∈ ℤ_{p_{i}} und

\begin{aligned}v_{p_{i}}(x − x_{i}) & = v_{p_{i}}(x_{0} + u(p_{1} … p_{n})^{N} − x_{i}) \\ & ≥ inf\{\underbrace{v_{p_{i}}(x_{0} − x_{i})}_{≥N}, \underbrace{v_{p_{i}}(u)}_{≥0} + \underbrace{v_{p_{i}}((p_{1} … p_{n})^{N})}_{=N}\} ≥ N \end{aligned}

Setzen wir x̃ := \frac{x}{m}, dann haben wir |x̃ − x̃_{∞}| = |\frac{x−x_{∞}}{m} | ≤ \frac{ε}{m} ≤ ε und

v_{p_{i}}(x̃ − x̃_{i}) = v_{p_{i}}(\frac{x − x_{i}}{m}) = v_{p_{i}}(x − x_{i}) − v_{p_{i}}(m) ≥ N − M = Ñ

2z.B. m := ∏_{i=1}^{n} p^{− inf{v_{p_{i}} (x_{i}),0}} ∈ ℕ

3x ∈ ℝ, ε > 0, q ∈ ℕ ⇒ ∃r ∈ ℕ : q^{−r} < ε, ∃a ∈ ℤ : |q^{r}x − a| < 1, also |x − a/q^{r}| < ε.

Lemma 3 (Dirichlet). Wenn a, b ∈ ℕ teilerfremd sind, dann gibt es unendlich viele Primzahlen der Form an + b. Wird in Kapitel VI bewiesen ohne Verwendung von Resultaten aus den vorigen Kapiteln.

Beweis von Theorem 4. ”(b)⇒(a)”: Seien die drei Bedingungen erfüllt. Ohne die Hilbert-Symbole zu verändern, können wir die a_{i} mit den Quadraten ihrer Nenner multiplizieren und deshalb annehmen, dass alle a_{i} in ℤ liegen. Sei S = {2, ∞} vereinigt mit der Menge der Primteiler der a_{i}. Sei T = {v ∈ V : ∃i ∈ I: ε_{i,v} = −1}. S, T ⊆ V. Beide Mengen sind endlich (S klar, T nach Bedingung (1)).

1. Fall: S ∩ T = ∅. Dann ist ∞ ∉ T. Setze a := ∏ T, m := 8 ∏(S \ {2, ∞}). Weil S ∩ T = ∅ sind a und m teilerfremd. Nach Lemma 3 existiert eine Primzahl p ≡ a (mod m) mit p ∉ S ∪ T. Wir werden zeigen, dass x := ap die gewünschte Eigenschaft (a_{i}, x)_{v} = ε_{i,v} ∀i ∈ I, v ∈ V hat. Seien dazu i ∈ I und v ∈ V beliebig vorgegeben.

I. v ∈ S : Dann ist v ∉ T und deshalb ε_{i,v} = 1. Ist v = ∞, dann ist (a_{i}, x)_{∞} = 1 wegen x > 0. Ist v = l eine Primzahl, dann ist x = ap ≡ a^{2} (mod m), also x ≡ a^{2} (mod 8) und x ≡ a^{2} (mod l). Das zeigt, dass x ein Quadrat in ℚ_{l}^{∗} ist (s. II,3.3), also ist (a_{i}, x)_{v} = 1.

II. v ∉ S, v = l prim : Dann gilt ∀k ∈ I : a_{k} ∈ ℤ_{l}^{∗} (denn l ∤ a_{k}). Da l ≠ 2 folgt aus Theorem 1

∀k ∈ I, b ∈ ℚ_{l}^{∗}: (a_{k}, b)_{l} = (\frac{a_{k}}{l} )^{v_{l}(b)}

II.1. l ∉ T ∪ {p} : Dann gilt x = ap ∈ ℤ_{l}^{∗} (denn l ∤ p, l ∤ a = ∏ T), also v_{l}(x) = 0 und wir haben (a_{i}, x)_{l} = (\frac{a_{i}}{l} )^{0} = 1, und wegen l ∉ T ist ε_{i,l} = 1.

II.2. l ∈ T : Dann ist v_{l}(x) = 1 (denn x = ap ist ein Produkt verschiedener Primzahlen, l | a). Wegen Bedingung (3) existiert ein x_{l} ∈ ℚ_{l}^{∗} mit ∀k ∈ I: (a_{k}, x_{l})_{l} = ε_{k,l}. Wegen l ∈ T gibt es ein j ∈ I für das ε_{j,l} = −1 und wir haben (a_{j}, x_{l})_{l} = −1 = (\frac{a_{j}}{l} )^{v_{l}(x_{l})}, deshalb muss v_{l}(x_{l}) ≡ 1 (mod 2) sein, also gilt (a_{i}, x)_{l} = (\frac{a_{i}}{l} )^{v_{l}(x)} = (\frac{a_{i}}{l} ) = (\frac{a_{i}}{l} )^{v_{l}(x_{l})} = (a_{i}, x_{l})_{l} = ε_{i,l}.

II.3. l = p : Dann ist nach Theorem 3, den Fällen I, II.1, II.2 sowie Bedingung (2)

(a_{i}, x)_{p} = ∏_{v≠p}(a_{i}, x)_{v} = ∏_{v≠p} ε_{i,v} = ε_{i,p}

2. Fall: S ∩ T ≠ ∅. Aus Kapitel II,3.3 wissen wir, dass die Quadrate in ℚ_{v}^{∗} eine offene Untergruppe bilden (auch in ℝ^{∗}). Es gibt also (wegen der Endlichkeit von S) ein N ∈ ℕ, so dass für alle Primzahlen p ∈ S gilt: Ist x ∈ ℚ_{p}^{∗} mit v_{p}(x − 1) ≥ N, dann ist x ein Quadrat in ℚ_{p}^{∗}. Von der Bedingung (3) haben wir ein Tupel (x_{v})_{v∈S} ∈ ∏_{v∈S} ℚ_{v} (dabei ist jedes x_{v} ∈ ℚ^{∗}). Setze M := max {v_{p}(x_{p}) : p ∈ S prim} ∈ ℤ. Nach Lemma 2 existiert ein x′ ∈ ℚ^{∗} mit v_{p}(x′ − x_{p}) ≥ N + M für alle Primzahlen p ∈ S und |x′ − x_{∞}| ≤ |x_{∞}/2| in ℝ. Dann ist v_{p}(x′/x_{p} − 1) = v_{p}(x′ − x_{p}) − v_{p}(x_{p}) ≥ N + M − M = N und |x′/x_{∞} − 1| ≤ 1/2, also ist für alle v ∈ S die Zahl x′/x_{v} ein Quadrat in ℚ_{v}^{∗}. Setzen wir für alle i ∈ I, v ∈ V

η_{i,v} := ε_{i,v}(a_{i}, x′)_{v}

dann erfüllt die Familie (η_{i,v}) die Bedingungen (1),(2),(3) und es ist η_{i,v} = 1 ∀i ∈ I, v ∈ S. Denn nach den Bedingungen für ε_{i,v} und Theorem 3 gilt:

(1) Fast alle η_{i,v} = ε_{i,v}(a_{i}, x′)_{v} sind gleich 1.

(2) Für alle i ∈ I ist ∏_{v∈V} η_{i,v} = ∏_{v∈V} (ε_{i,v}(a_{i}, x′)_{v}) = ∏_{v∈V} ε_{i,v} ∏_{v∈V} (a_{i}, x′)_{v} = 1.

(3) ∀v ∈ V : ∃x′_{v} ∈ ℚ_{v}^{∗}: ∀i ∈ I: (a_{i}, x′_{v})_{v} = η_{i,v}. Setze x′_{v} := x′/x_{v}, dann ist (a_{i}, x′/x_{v})_{v} = (a_{i}, x_{v})_{v}(a_{i}, x′)_{v} = ε_{i,v}(a_{i}, x′)_{v} = η_{i,v}.

Falls v ∈ S, dann ist x′/x_{v} ∈ ℚ_{v}^{∗2}, also ∀i ∈ I: η_{i,v} = (a_{i}, x′/x_{v})_{v} = 1.

Auf die Familie η_{i,v} ist nun Fall 1 anwendbar, denn T̃ := {v ∈ V : ∃i ∈ I: η_{i,v} = −1} ist disjunkt zu S. Es existiert also ein y ∈ ℚ^{∗} mit ∀i ∈ I, v ∈ V : (a_{i}, y)_{v} = η_{i,v}. Setzen wir x := yx′, dann ist ∀i ∈ I, v ∈ V : (a_{i}, x)_{v} = (a_{i}, y)_{v}(a_{i}, x′)_{v} = η_{i,v}(a_{i}, x′)_{v} = ε_{i,v}.